INTRODUCCIÓN
En las
comunicaciones, las líneas de transmisión llevan señales telefónicas, datos de computadoras en LAN, señales de televisión en sistemas de Televisión por cable y señales de un transmisor a una antena o
de una antena a un receptor. Las líneas de transmisión son enlaces importantes
en cualquier sistema. Son más que tramos de alambre o cable. Sus
características eléctricas son sobresalientes, y se deben igualar a las del
equipo para obtener comunicaciones adecuadas.
Las líneas de
transmisión también son circuitos. En frecuencias muy altas donde las longitudes de
onda son cortas, las líneas de transmisión actúan como circuitos resonantes y
aun como componentes reactivos en VHF y UHF, y frecuencias de microondas, la mayor parte de los circuitos sintonizados y
filtros se utilizan con líneas de transmisión.
El primer cable
submarino. Thomson y Heaviside.
En la década de
1830 Samuel Morse había establecido la posibilidad práctica de enviar mensajes
mediante corrientes eléctricas a lo largo de hilos conductores, enviando un
mensaje desde Baltimore a Washington. Poco a poco gran parte de los países
europeos y Estados Unidos tendieron redes
de telegrafía que comunicaron las grandes ciudades. El siguiente paso sería
establecer una comunicación intercontinental, para lo cual se requería
instalar un cable submarino. En 1851 se estableció una conexión entre Inglaterra y Francia.
En 1856 se creó la
Atlantic Telegraph Company con un capital de £ 350.000 (entonces equivalentes a unos u$s
1.400.000), presidida por el empresario norteamericano Cyrus Field, cuyo único propósito
era tender el primer cable trasatlántico. Uno de sus diecisiete directores era
el profesor de filosofía natural de la Universidad de Glasgow, William Thomson.
En 1854 Thomson
había aplicado el método de Fourier - quien había resuelto el problema de la
transmisión del calor a la propagación de los impulsos eléctricos en un cable
largo. El modelo de Thomson era equivalente al que hemos propuesto para
una línea con pérdidas, pero sin considerar los efectos inductivos (L = 0)
ni pérdidas dieléctricas (G = 0) la cual es una
ecuación de difusión del tipo de la transmisión del calor. No existe para una
perturbación que siga esta ecuación diferencial una velocidad definida. Ante un estímulo en forma de escalón la
respuesta es una función error.
Para una línea de
longitud L, el máximo de corriente se da para:
Esta es la famosa
"ley de cuadrados" que encontró Thomson. Significa que, si
se aplica un pulso telegráfico a la entrada de la línea, el tiempo que tarda en llegar al otro extremo es proporcional al
cuadrado de la longitud de la línea. La tarea de colocar el cable se dividió
entre dos barcos, la fragata norteamericana Niagara y el buque de guerra británico Agamemnon.
El plan era navegar hasta el punto medio del tendido y desde allí
el Niagara colocaría el cable hacia Norteamérica y el Agamemnon colocaría el
cable hacia Inglaterra. El tendido comenzó el 30 de julio de 1857. Luego de
muchas rupturas, la colocación se completó finalmente en el quinto intento más
de un año después, el 5 de agosto de 1858. Los dos puntos extremos del tendido
eran Valentia Harbour, en Irlanda, y Trinity Bay en
Newfoundland. El 16 de agosto se estableció la primera comunicación, con
el mensaje: "Glory to God in the highest, and on earth, peace, good will
to men". Sin embargo, el
cable dejó de funcionar tres semanas después. El "electricista" a
cargo, un aficionado llamado O. E. W. Whitehouse, era en realidad un médico
retirado que se había dedicado a la electricidad y la telegrafía y no tenía una comprensión
acabada de los fenómenos involucrados. Por ejemplo, dijo sobre el modelo
teórico de Thomson y su ley de cuadrados:
"Con toda honestidad, estoy obligado a responder que creo que la naturaleza no conoce tal
Aplicación de esa
ley, y la puedo solamente considerar como una ficción de las escuelas, una
forzada y violenta adaptación de un principio en Física,
bueno y verdadero bajo otras circunstancias, pero mal aplicado aquí."
Para lograr
detectar la muy débil señal telegráfica, en lugar de usar instrumentos más
sensibles Whitehouse optó por aumentar la tensión aplicada al cable, lo que
causó que el cable se cortocircuitara en puntos débiles del aislante de
gutapercha. Luego de un estudio de las causas de la salida de funcionamiento
del cable transatlántico, Whitehouse fue despedido.
En un segundo
intento se tomaron en cuenta los estudios de Thomson. Se utilizó cable de cobre de la mejor calidad disponible y con una sección casi tres veces mayor del
cable original, lo que disminuía la resistencia por unidad de longitud, mejorando la performance.
También Thomson insistió en lograr una mayor fortaleza y mejorar el aislamiento
para evitar la acción del agua de mar, así como disminuir las tensiones de trabajo, para
lo cual desarrolló un nuevo instrumento, el galvanómetro de espejo, que podía
medir corrientes muy pequeñas. El segundo intento de colocar el cable
submarino, realizado entre el 14 de julio de 1865 y el 28 de julio de 1866, fue
exitoso y se pudieron establecer comunicaciones transatlánticas permanentes. En
la figura se muestra la estación de recepción del telégrafo trasatlántico
en Valentia, Irlanda4.
El primer mensaje
enviado fue:
"A treaty of peace has been signed between Austria and
Prussia". Relatos de la
época hablan de la fascinación de los operadores porque los mensajes se
recibían horas antes de que fueran enviados, debido a la diferencia de huso
horario entre los extremos del cable). Casi inmediatamente, el uso del cable
fue abierto comercialmente pero sólo los muy ricos podían
utilizarlo: las
tarifas iniciales eran desde u$s 1 por carta, pagables en oro, en una época en que el salario mensual de un trabajador era del orden de u$s 20. El
cable original colocado en 1866 dejó de operar en 1872, pero ya había otros
cuatro cables transatlánticos en uso para esa fecha. Para valorar la
importancia de este desarrollo de la ingeniería, debe señalarse que para 1890 había ya más de 150
mil kilómetros de cables submarinos comunicando todo el mundo, y que recién en
la década de 1960 el lanzamiento de los primeros satélites de comunicaciones presentaron una alternativa a los
cables submarinos.
En noviembre de
1866 Thomson fue elevado a la categoría de par del reino británico bajo el
título de Lord Kelvin of Largs por sus logros en relación al cable submarino.
El Kelvin es el
río que atraviesa el terreno de la Universidad de Glasgow y Largs es el pueblo
sobre la costa escocesa donde Thomson construyó su residencia. Dentro de la investigación en el electromagnetismo, Thomson introdujo en 1850 las nociones de
susceptibilidad y permeabilidad magnética, junto con los conceptos de B,
H y M, en 1853 usó la teoría magnética de Poisson para encontrar las ecuaciones de
la energía magnética en términos de los campos, por una parte, y de la
corriente circulante y la inductancia, por otra. Ese mismo año halló la
ecuación del circuito RLC, lo que dio una descripción matemática a observaciones experimentales de Henry y Savery.
Ya hemos hablado de su modelo mecánico del electromagnetismo que inspiró los
primeros modelos de Maxwell.
En 1857 Gustav
Kirchhoff (izquierda) encontró las ecuaciones del telegrafista para una
línea coaxial. También halló que, si la resistencia del cable es pequeña, estas
ecuaciones llevan a la ecuación de ondas con una velocidad que para un cable coaxial da un valor muy cercano a la velocidad de la luz. Kirchhoff se da cuenta de esta coincidencia y es así el
primero en hallar que las señales electromagnéticas viajan a la velocidad de la
luz.
Las ideas de la
propagación de ondas en cables fueron retomadas y completadas, usando el método
operacional que él mismo inventó, por Oliver Heaviside (foto).
Heaviside no tuvo educación
formal, ya que abandonó sus estudios a los 16 años. Aprendió el código Morse y se dedicó a ser operador telegráfico. A pesar
de su falta de rigor matemático, Heaviside estudió el Treatise de Maxwell y
consiguió reducir las veinte ecuaciones (escalares) con veinte incógnitas
halladas por Maxwell a sólo dos ecuaciones (vectoriales) con dos incógnitas en
el vacío. Logró esta hazaña inventando el análisis vectorial.
Por este motivo
las actuales ecuaciones de Maxwell deberían llamarse de Maxwell-Heaviside. Por
su falta de rigor la idea revolucionaria de Heaviside tuvo pocos seguidores.
Los físicos que trabajaban con las ecuaciones de Maxwell estaban influenciados
por el modelo de quaterniones, desarrollado por el mismo Maxwell y Tait. Sólo
Heinrich Hertz, que iba a alcanzar fama mundial por su comprobación experimental
de que las ondas electromagnéticas se propagan a la velocidad de la luz,
entendió la importancia de los trabajos de Heaviside y Gibbs y en 1892 publicó
un trabajo riguroso donde llega a la notación actual de las ecuaciones del
electromagnetismo.
Entre 1880 y 1887
Heaviside desarrolló el cálculo operacional para estudiar los circuitos eléctricos, que permite pasar de modelos basados en ecuaciones diferenciales a ecuaciones algebraicas. Este es el
método de la transformada de Laplace que hoy en día es el método normal de análisis de
circuitos. A pesar del evidente éxito de este método, la falta de rigor matemático de las
presentaciones de Heaviside hizo que no tuviera aceptación amplia hasta 1906 en
que su fundamentación rigurosa fue establecida por el matemático inglés Thomas Bromwich.
Heaviside también
se dedicó a la propagación de ondas en las líneas telegráficas. Redescubrió las
ecuaciones del telegrafista que ya había hallado Kirchhoff. Heaviside se dio
cuenta que el efecto de la inductancia de la línea puede llevar a la condición
de propagación sin distorsión por lo que sugirió aumentar la inductancia
agregando inductores a lo largo de la línea.
En 1883 comienza a
analizar la propagación de ondas electromagnéticas en conductores. En forma
independiente en 1885 Heaviside y el físico Horace Lamb describieron por
primera vez el efecto pelicular en conductores, que hace que la distribución de corriente a altas frecuencias no sea uniforme
y haya una concentración de corriente sobre la periferia del conductor,
modificando así su resistencia.
En 1902 y en forma
casi simultánea Heaviside y el ingeniero norteamericano Arthur Kennelly
anunciaron la probable existencia de una capa atmosférica de gas ionizado que afectaría la propagación de las ondas
electromagnéticas. La capa de Heaviside-Kennelly es una de las capas de la
ionosfera, cuya existencia fue corroborada experimentalmente en 1923. Oliver Heaviside
v
Las líneas de transmisión son estructuras de
guiado de energía cuyas dimensiones, salvo una, son pequeñas frente a la
longitud de onda de los campos electromagnéticos. Es posible considerar a la
línea como una sucesión de cuadripolos de tamaño infinitesimal en cascada. Para
cada cuadripolo entonces se puede aplicar la aproximación cuasi-estática. Esta
descripción circuital se conoce como de parámetros distribuidos.
v
En el caso de las líneas ideales no existen
pérdidas de energía y el cuadripolo exhibe solamente elementos reactivos.
Resultan ecuaciones de onda para tensión y corriente a lo largo de la línea,
que queda definida por dos parámetros: la velocidad de propagación de las ondas
y la impedancia característica, que da la relación entre las ondas de tensión y
de corriente de una onda progresiva.
v
En el caso de las líneas reales se incorporan
las pérdidas en los conductores y en el dieléctrico. Esto lleva, en el caso de
ondas armónicas, a una constante de propagación compleja – que indica la
propagación con atenuación – y a una impedancia característica compleja. En la
práctica son de interés las líneas de bajas pérdidas.
v
Se presenta una descripción de líneas de uso
común en la técnica, entre ellas las líneas de cinta o de par trenzado.
v
Una línea cargada generalmente presenta
reflexión de potencia, y en el caso ideal, ondas estacionarias.
v
En general,
modificando la impedancias de carga y la longitud de la líena es posible obtener
cualquier impedancia de entrada, lo que permite usar a las líneas como elementos
de circuito.
v
Para líneas de transmisión de energía o
información, la reflexión de potencia es habitualmente perjudicial, y está
acompañada de sobretensiones y sobrecorrientes en la línea que pueden dañarla.
El parámetro que define usualmente la importancia de la reflexión es la
relación de onda estacionaria (ROE).
v
Se presenta un coeficiente de reflexión
generalizado que da la relación de la tensión cde la onda regresiva y la
tensión de la onda incidente en cualquier punto de la línea.
v Caso más simple que podemos tratar de
v campos con variación temporal es del la
v línea de transmisión ideal.
v Suponemos que el campo eléctrico y el
v magnético tienen una sola componente.
v Se desprecia cualquier variación con
las
v coordenadas transversales.
v Suponemos que la única variación que existe
es con la coordenada longitudinal Z hacia donde se dirige la línea.
Potencial escalar
eléctrico
Se desprecia la
foma concreta de la línea (coaxial,
bifilar) y
suponemos que no existen variaciones
con respecto a
estas coordenadas.
~E = Ex ˆex
~H = Hy ˆey
Además suponemos
que estamos en una versión
sin fuentes, es
decir lejos existen las fuentes que
generan los campos,
pero en la región donde estoy
no hay fuentes.
Las ecuaciones de Maxwell en el
dominio de la
frecuencia quedan como:
∇ × ~E = −jωμ~H
∇ × ~H = jωǫ~E
Se considera que ∂
∂x = 0 y ∂
∂y = 0. Al final del curso
se considerará el
caso de la forma concreta de
la línea, es decir
las variaciones respecto al plano
transversal.
Generalmente se usa el término línea
de transmisión a la guía de ondas usada en el extremo
de menor frecuencia del
espectro. A estas frecuencias es posible utilizar un
análisis cuasiestático. Para
frecuencias más elevadas la aproximación
cuasiestática deja de ser válida y se
requiere
un análisis en términos de campos, que es de
mayor complejidad. Veremos este tratamiento
en el capítulo de guías de ondas.
Podemos pensar a una línea de transmisión
básica como un par de electrodos que se
extienden
paralelos por una longitud grande (en
relación con la longitud de onda) en una dada
dirección. El par de electrodos se hallan
cargados
con distribuciones de carga (variables
a lo largo de la línea) iguales y opuestas,
formando
un capacitor distribuido. Al mismo
tiempo circulan corrientes opuestas
(variables a lo
largo de la línea) de igual magnitud, creando
campo
magnético que puede expresarse a través de
una
inductancia distribuida. La potencia fluye a
lo largo de
la línea. Los ejemplos más importantes de
líneas de
transmisión son el par bifilar, el
coaxil y la microcinta.
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